Ejercicio a resolver:
Una partícula de masa 20 kg permanece fija en el origen de coordenadas. a) Calcule el campo gravitatorio generado por la masa en el punto (8, 6) m y la fuerza que experimentará una segunda partícula de masa 3 kg situada en dicho punto.
Gravitación
Llamamos A al punto (8, 6) m. La distancia entre la masa en el origen y el punto A usando Pitágoras es 62 + 82 = 10 m. El ángulo que forma con la horizontal lo llamamos α, y el vector campo estará dirigido hacia el origen.
g = -gx î - gy ĵ = -g cos(α) î - g sin(α) ĵ
El módulo es
g = GM/R2 = 6.67 × 10-11 × 20/102 = 1.334 × 10-11 m/s2
g = -1.334 × 10-11 (8/10 î + 6/10 ĵ) = -1.07 × 10-11 î - 8.00 × 10-12 ĵ m/s2
F = mg = -3.21 × 10-11 î - 2.4 × 10-11 ĵ N
Datos Iniciales
Masa fija en el origen: M = 20 kg
Punto donde se desea calcular el campo gravitatorio: A = (8, 6) m
Masa de la segunda partícula en el punto A: m = 3 kg
Constante de gravitación universal: G = 6.67430 × 10-11 m3 kg-1 s-2
Parte a: Cálculo del Campo Gravitatorio
Distancia r entre el origen y el punto A:
Usamos el teorema de Pitágoras:
r = √(x2 + y2) = √(82 + 62) = √(64 + 36) = √100 = 10 m
Ángulo α con la horizontal:
El ángulo α es tal que:
cos(α) = 8/10 = 4/5 y sin(α) = 6/10 = 3/5
Campo gravitatorio g:
La fórmula del campo gravitatorio es:
g = -G M / r2 r̂
Sustituimos los valores:
g = G M / r2 = (6.67430 × 10-11 × 20) / 102 = 1.33486 × 10-9 / 100 = 1.33486 × 10-11 m/s2
Componentes del campo gravitatorio:
Usamos las componentes del vector unitario en la dirección del punto A:
g = -g cos(α) î - g sin(α) ĵ = -1.33486 × 10-11 (4/5 î + 3/5 ĵ)
g = -1.06788 × 10-11 î - 8.00916 × 10-12 ĵ m/s2
Parte b: Cálculo de la Fuerza sobre la Segunda Partícula
Fuerza gravitatoria F:
La fuerza gravitatoria sobre la segunda partícula se calcula como:
F = m g
Sustituimos la masa m = 3 kg:
F = 3 (-1.06788 × 10-11 î - 8.00916 × 10-12 ĵ)
F = -3.20364 × 10-11 î - 2.40275 × 10-11 ĵ N
Resumen y Respuesta Final
Campo gravitatorio en el punto A = (8, 6) m:
g = -1.06788 × 10-11 î - 8.00916 × 10-12 ĵ m/s2
Fuerza que experimentará una partícula de masa 3 kg en ese punto:
F = -3.20364 × 10-11 î - 2.40275 × 10-11 ĵ N
Distancia r entre el origen y el punto A:
r = √(x2 + y2)
Componentes del vector unitario r̂:
cos(α) = x/r, sin(α) = y/r
Campo gravitatorio g:
g = -G M / r2 r̂
g = -gx î - gy ĵ = -g cos(α) î - g sin(α) ĵ
Magnitud del campo gravitatorio g:
g = G M / r2
Componentes del campo gravitatorio:
g = -g (cos(α) î + sin(α) ĵ)
Fuerza gravitatoria F:
F = m g
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